“最短路径问题之造桥选址”是一个涉及到数学、物理和工程知识的复杂问题。在这个问题中,需要考虑如何在地形复杂、河流交错的地区选择最佳的造桥位置,以确保造桥工程的安全和高效进行。这个问题的难度比较大,需要综合运用多种学科的知识和技能进行综合分析和求解。通过深入研究此问题,学霸们提出了一些创新的解题思路,包括利用数学建模、采用最短路径算法、结合实地勘测等方法。这些思路为解决这一难题提供了新的视角和思路,对于理解和应用最短路径问题具有重要的指导意义。
八上数学模型与方法归纳总结更新到第15讲:最短路径之将军饮马模型。
上一讲,我们讲解了最短路径的经典题型:将军饮马。
这一讲,我们要讲解最短路径的经典题型:造桥选址。
AM+MN+BN的最小值为A'B+MN,其中A和B在不同侧。
AM+MN+BN的最小值为A''B+MN.此时A和B在同一侧。
这里都是去找一个固定线段MN的位置,使得AM+MN+BN的值最小,这里用到了造桥选址的模型和方法,只需要将A进行一段平移,然后沿着直线对称,再利用两点之间直线段最短的原理,即可找到MN的位置。
我们来看例题吧
例题1:如图,已知A(0,2)、B(6,4),E(a,0),F(a+1,0),求a为时,四边形ABFE周长最小请说明理由。
如图,B(6,4)点往左平移1个单位至B1(5,4),然后关于X轴对称至B2(5,-4),连接AB2交X轴于点E,利用三点共线面积法:
相关的作图过程如下:
是不是感觉还挺简单的呢?这种题目一般是出现在压轴题中,或者作图题里面,下面来看一道作图题吧。
例题2:如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸垂直,设河的宽度不变,试问:桥建在何处,才能使从A到B的距离最短?保留作图痕迹并说明理由.
读完题目,是不是立马有了思路了呢?看吧研究模型的价值很大吧!
如图,作垂直于河岸,使等于河宽,连接,与河岸相交于P,作,交于点D,则且.连接,利用平行四边形的性质可知.根据“两点之间,线段最短”,可知最短,即从A到B,路径最短。
这种题型比将军饮马的题型要 难一些,但是掌握了模型的原理,就很容易了。
看看几道经典的习题吧
习题3:如图,现有一条地铁线路l,小区A和小区B在l的同侧,已知地铁站两入口C、D间的长度为a米,现设计两条路AC、BD连接入口和两小区地铁站入口C、D设计在何处,能使得修建公路AC与BD的费用和最少?
这种题目是不是跟生活结合很紧密啊?小伙伴们会解吗?
还有这道计算题,也值得关注哦
习题5:如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(4,2),PQ是轴上的一条动线段,且
PQ=1,当AP+PQ+QB取最小值时,点Q坐标为______.
相信有例题1的讲解,这道题应该能够独立完成的。
学生可以独立完成然后对着答案去学习,遇到难点问题,可以在评论区留言与老师互动,老师会根据问题情况,录制出免费的视频解析,帮助孩子提高成绩。
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